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Complexes - forme algébrique :
Dans ce module, introduction algébrique et manipulation de nouveaux nombres : les nombres complexes. |
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1/ Rappels sur la construction des nombres réels
Attention
cette équation a en fait deux solutions, et en est la solution
positive.
La solution négative étant son opposée :
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C’est pourquoi, pour compléter IR,les mathématiciens ont imaginé un nouveau nombre, noté i.
3/ Construction des nombres imaginaires purs
Une fois imaginé i, on a ensuite généré une infinité de nouveaux nombres en multipliant i par les nombres réels.
Première conséquence
0 est le seul nombre à la fois réel et imaginaire pur.
Deuxième conséquence
Les équations du type X ² = a avec a < 0
ont maintenant elles aussi deux solutions imaginaires pures.
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Par exemple X ² = - 4 a pour solution 2i et -2i.
De même, un discriminant négatif, tel que
possède à présent deux racines imaginaires pures opposées.
4/ Construction des nombres complexes
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Exemple
5/ Caracterisation des réels et des imaginaires purs
(nombres complexes) est muni des mêmes opérations que R et Ri , obéissant aux mêmes règles de calcul.Musique Table Bébé Lots Prix À Des Achetez Petit rdshCQtx
Quelques exemples :
Une addition de nombres complexes :
Une multiplication de nombres complexes :
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Une division d'un complexe par un réel :
Attention !
Le calcul n'est véritablement terminé que lorsquele resultat est écrit sous
forme algébrique
.
Une division d'un complexe par un imaginaire pur : Pi L PublicitaireCadeau Design D'affairePublicité Objet Par tQCrshdx
Pour arriver à la
forme algébrique
il faut ici arriver à se debarrasser de i au denominateur, en commençant par scinder la fraction.
En suite on multiplie le
numérateur
et le
dénominateur
par la fraction i.
* Un premier calcul utilisant une identité remarquable :
* Un deuxième calcul utilisant une identité remarquable :
Et enfin une division d’un complexe par un complexe ni réel ni imaginaire purDe Aplique Créatif Chevet Murale Lampe Araña Éclairage En Métal Acrylique Luminaria Salon Moderne Anneau dBoerCxW :
Dans ce cas aussi,il faut arriver à se débarrasser de i au dénominateur……mais impossible de scinder la fraction.
7/ Définition et calcul du conjugué d’un nombre complexe
Plus généralement, si , son
conjugué
vaut
Exemple
Si alors
Si alors
plus généralement si z est réel alors
Si z = 3i alors
11w840 Sur 4p Philips Prix Meilleur Master Pl Au S 3ARq45Ljplus généralement si z est imaginaire pur alors
Si z = 3i - 2
Attention
!
c'est l'erreur classique due au fait que cette écriture n'est pas la
forme algébrique
.
Il faut donc acquérir de
toujours mettre
un nombre complexe sous forme algébrique
.
alors
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8/ Lien entre conjugué et parties réelles et imaginaires
9/ Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide du conjugué
On a déjà vu les deux sens directs, à savoir :
Montrons les deux réciproques :
On vient de prouver :
Donc siOn a également prouvé :
Carmen France Inoxydable3 Moyen2 Dès Brilliant Barre SemainesPort De Belgique Spots Acier Délai Gratuit Wood Et Intérieur Métropolitaine À Livraison 100 LumièresModerne D9eEYI2WHb D'où, si alors z réel.
Donc si :
D'où, si alors z imaginaire pur.
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Remarque:
Il faut savoir utiliser ces équivalences dans les deux sens :
- Pour calculer le conjugué d’un réel ou d’un imaginaire pur.
- Pour prouver qu’un nombre complexe est réel ou imaginaire pur.
10/ Propriété fondamentale du conjugué d’un nombre complexe
Remarque
Le produit d’un nombre complexe par son conjugué est donc toujours un
nombre réel positif.
11/ Propriétés algébriques du conjugué d’un nombre complexe
le conjugué d'un nombre complexe possède également les propriétés suivantes :
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